O chamado “Beam Lifetime” (ζ) é o intervalo de tempo despois do cal a intensidade do feixe cae a unha fracción 1/e do seu valor incial ("e" é o múmero de Neper).

Imos estimar este valor considerando algúns dos fenómenos máis importantes que contribúen á diminución do número de protóns.

Téñase presente que imos considerar os parámetros correspondentes ao arranque inicial do LHC, polo que se deberían actualizar, chegado o caso, cos valores que correspondan ao momento concreto que se desexe avaliar.

Primeiro consideramos as colisións protón-protón nos puntos de interacción. A  sección eficaz para estas colisións a 7 TeV é aproximadamente 110 mbarns (milibarns, con 1 barn = 10^-28 m²).

O número total de colisións por segundo á luminosidade nominal é:

N_eventos/s = L·σ _evento

10³⁴ x [(110 x10^-3) x 10^-24] ~ 10⁹ colisións/segundo

Con 2808 bunches:

10⁹/2808  ⇒  3.6·10⁵ colisións por bunch e por segundo.

Imos considerar estas colisións como un proceso de “decaemento” cunha probabilidade λ .

Como incialmente temos un número total de protóns por bunch é  N_p0 ~ 1.15·10¹¹ protóns podemos calcular λ así:

λ  = 3.6·10⁵/1.15·10¹¹   ⇒  λ = 3·10^-6 s^-1

Este valor representa a probabildade de que un protón colida cun protón que ven de frente por segundo.

Por tanto, a variación do número de protóns ven dado por:

dN_p/dt = – λ × N_p

ou,

N_p(t) = N_p0 × e^{-λ× t}

onde N_p(t) é o número de protóns por bunch como función do tempo e N_p0 é o  número inicial de protóns.

Se resolvemos a ecuación anterior para N_p(t) /N_p0 = 1/e  e con t = ζ   temos:

1/e = e^-λ× ζ

e polo tanto,

ζ =1/λ

Con  λ = 3·10^-6 s^-1 , chegamos finalmente a:

ζ = 3·10⁵ s (~ 80 h)

Polo tanto, considerando só as colisións entre protóns nos puntos de interacción, o Beam Lifetime sería arredor de 80 horas.

O segundo proceso importante que diminúe o número de protóns é a dispersión producida por colisións protón-gas  (ver a sección Ecuación de Gases Ideais). As interaccións elásticas non son consideradas porque nelas a enerxía do protón se conserva e os sistemas magnéticos multipolares corrixen maioritariamente as correspondentes dispersións.

Os principais gases presentes son H₂, CH₄, CO, CO₂, H₂O e gases nobres, pero consideraremos que todas as moléculas son de H₂ (de feito, para o resto das moléculas introdúcense parámetros correctores para “converter esas moléculas” ao seus H₂ equivalentes, a efectos de cálculo).

Para as colisións protón-núcleo de hidróxeno (p-H₁) a 7 TeV, a sección eficaz para a dispersión inelástica é ~ 40 mb; polo tanto, para proton-molécula de hidróxeno (p-H₂) o valor é σ ~ 80 mb (a sección eficaz,  σ, para as colisións protón-gas representa a hipotética superficie que describe a probabilidade de que un protón sexa dispersado por unha molécula de hidróxeno. Ver máis ...).

σ ~ 80 mb  ⇒  σ ~ 80·10^-3 x 10^-28  ⇒  σ ~ 8·10^-30 m²

Para este cálculo consideramos os sectores en arco do LHC de 2.45 km de longo, onde a densidade dos gases (ρ_m) ten un significado importante (ver a sección Ecuación dos Gases Ideais).

Neste caso  ρ_m  ~ 1.4·10¹⁵ moléculas/m³     

A distancia dos oito arcos de 2.45 km é:   d = 8 × 2450  ⇒  d ~ 2·10⁴ m

Entón, para un sólo bunch (N_p ~ 1.15·10¹¹ protóns) circulando,  o número (N_lap) de interaccións bunch-gas por volta ocorridas nesa distancia  d  é:

N_lap ~  σ× ρ_m × N_p × d    

Polo tanto,

N_lap ~ 8·10^-30 × 1.4·10¹⁵  × 1.15·10¹¹ × 2·10⁴

       N_lap ~ 26 colisións/volta  por bunch

Dado que os bunches dan 11245 voltas por segundo (f ), o número de interaccións bunch-gas por segundo (R_int) é:

R_int = N_lap × f

R_int ~ 26 × 11245 ~ 2.9·10⁵  (290 kHz)

Así que temos uns 3·10⁵ protóns perdidos por segundo cando o feixe comeza a circular no LHC.

Consideremos de novo esta situación como un proceso de “decaemento” cunha probabilidad λ , seguindo un razoamento semellante ao visto con anterioridade:

λ = (2.9·10⁵)/(1.15·10¹¹)

λ = 2.5·10^-6 s^-1

Este valor representa a probabildade de que un protón interaccione cunha molécula de gas por segundo.

Utilizando de novo,

ζ =1/λ

con  λ = 2.5·10^-6 s^-1, chegamos finalmente:

ζ = 4·10⁵ s (~ 110 h)

Considerando só as colisións entre protóns e moléculas de gases no tubo do feixe, o Beam Lifetime sería arredor de 110 horas.

Un terceiro grupo de procesos ten que ver con mecanismos como a limitada eficiencia dos sistemas correctores e focalizadores, a dispersión de Coulomb entre protóns viaxando xuntos (incluíndo o efecto Touschek), dispersión culombiana entre protóns de bunches que se cruzan nos puntos de interacción, ou erros de operación, tamén contribúen ao decrecemento do Beam Lifetime.

O número de protóns dofeixe que sofren este tipo de procesos por segundo é de aproximadamente duns 2,5·10⁶ protóns perdidos por segundo e por bunch cando o feixe comeza a circular no LHC..

Consideremos de novo esta situación como un proceso de “decaemento” cunha probabilidade λ, utilizando un razoamento similar ao visto anteriormente:

λ = (2.5·10⁶)/(1.15·10¹¹)

λ = 2.2·10^-5 s^-1

Este valor representa a probabildade de que un protón dufra un deses procesos que acabamos de mencionan.

Usando de novo,

ζ =1/λ

E con  λ = 2.2·10^-5 s^-1, chegamos finalmente a:

ζ = 4,5·10⁴ s (~ 13 h)

Considerando este tercer tipo de eventos o Beam Lifetime sería de arredor de 13 horas.

Se consideramos simultaneamente todos os procesos que acabamos de estudar, o Beam Lifetime será:

1/ζ = + 1/ζ₁ + 1/ζ₂ + 1/ζ₃

1/ζ ~ 1/80 + 1/110 + 1/13

ζ ~ 10 h

Tendo en conta todos os fenómenos, o Beam Lifetime para o LHC é arredor de 10 horas.

Lembramos de novo que estos cálculos foron realizado cos parámetros nominais de inicio do LHC.