El llamado “Beam Lifetime” (ζ) es el intervalo de tiempo despúes del cual la intensidade del haz cae a una fracción 1/e de su valor incial ("e" es el múmero de Neper).

Vamos a estimar este valor considerando algunos de los fenómenos más importantes que contribuyen a la diminución del número de protones.

Téngase presente que vamos a considerar los parámetros correspondientes al arranque inicial del LHC, por lo que se deberían actualizar, llegado el caso, con los valores que correspondan al momento concreto que se desee evaluar.

Primero consideramos las colisiones protón-protón en los puntos de interacción. La  sección eficaz para estas colisiones a 7 TeV es aproximadamente 110 mbarns (milibarns, con 1 barn = 10^-24 cm² = 10^-28 m²).

El número total de colisiones por segundo a la luminosidad nominal é:

N_eventos/s = L·σ _evento

10³⁴ x [(110 x10^-3) x 10^-24] ~ 10⁹ colisiones/segundo

Con 2808 bunches:

10⁹/2808  ⇒  3.6·10⁵ colisiones por bunch y por segundo.

Vamos a considerar estas colisiones como un proceso de “decaimiento” con una probabilidad λ.

Como incialmente tenemos un número total de protones por bunch de  N_p0 ~ 1.15·10¹¹protones, el valor de λ lo obtenemos de los dos valores referidos:

λ  = 3.6·10⁵/1.15·10¹¹   ⇒  λ = 3·10^-6 s^-1

Este valor representa la probabilidad de que un protón colisione con un protón que viene de frente por segundo.

Por tanto, la variación del número de protones viene dado por:

dN_p/dt = – λ × N_p

o,

N_p(t) = N_p0 × e^{-λ× t}

donde N_p(t) es el número de protones por bunch como función del tiempo y N_p0 es el número inicial de protones.

Si resolvemos la ecuación para N_p(t) /N_p0 = 1/e  y tomando t = ζ   tenemos:

1/e = e^-λ× ζ

y por tanto,

ζ =1/λ

Con  λ = 3·10^-6 s^-1 , llegamos finalmente a:

ζ = 3·10⁵ s (~ 80 h)

Por tanto, considerando sólo las colisiones entre protones en los puntos de interacción, el Beam Lifetime sería alrededor de 80 horas.

El segundo proceso importante que disminuye el número de protones es la dispersión producida por colisiones protón-gas  (ver la sección Ecuación de Gases Ideales). Las interacciones elásticas no son consideradas porque en ellas la energía do protones se conserva y los sistemas magnéticos multipolares corrigen mayoritariamente las correspondientes dispersiones.

Los principales gases presentes son H₂, CH₄, CO, CO₂, H₂O y gases nobles, pero consideraremos que todas las moléculas son de H₂ (de hecho, para el resto de las moléculas se utilizan parámetros correctores para “convertir esas moléculas” a sus H₂ equivalentes, a efectos de cálculo).

Para las colisiones protón-núcleo de hidrógeno (p-H₁) a 7 TeV, la sección eficaz para la dispersión  inelástica é ~ 40 mb; por tanto, para protón-molécula de hidrógeno (p-H₂) el valor es σ ~ 80 mb (la sección eficaz,  σ, para las colisiones protón-gas representa la hipotética superficie que describe la probabilidad de que un protón sea dispersado por una molécula de hidrógeno.  Ver más ...).

σ ~ 80 mb  ⇒  σ ~ 80·10^-3 x 10^-28  ⇒  σ ~ 8·10^-30 m²

Para este cálculo consideramos los sectores en arco del LHC de 2.45 km de largo, donde la densidad de los gases (ρ_m) tiene un significado importante (ver la sección Ecuación de los Gases Ideais).

En este caso  ρ_m =  ~ 1.4·10¹⁵ moléculas/m³     

La distancia de los ocho arcos de 2.45 km es:   d = 8 × 2450  ⇒  d ~ 2·10⁴ m

Entonces, para un sólo bunch (N_p ~ 1.15·10¹¹ protóns) circulando,  el número (N_lap) de interacciones bunch-gas por vuelta ocurridas en esa distancia  d  es:

N_lap ~  σ× ρ_m × N_p × d           

Por tanto,

N_lap ~ 8·10^-30 × 1.4·10¹⁵  × 1.15·10¹¹ × 2·10⁴

       N_lap ~ 26 colisiones/vuelta por bunch

Dado que los bunches dan 11245 vueltas por segundo (f ), el número de interacciones bunch-gas por segundo (R_int) es:

R_int = N_lap × f

R_int ~ 26 × 11245 ~ 2.9·10⁵  (290 kHz)

Así que tenemos unos 3·10⁵ protones perdidos por segundo cuando el haz comienza a circular en el LHC.

Consideremos de nuevo esta situación como un proceso de “decaimiento” con una probabilidad λ con un razonamiento similar al visto anteriormente:

λ = (2.9·10⁵)/(1.15·10¹¹)

λ = 2.5·10^-6 s^-1

Este valor representa la probabildade de que un protón interaccione con una molécula de gas por segundo.

Usando de nuevo,

ζ =1/λ

Y con  λ = 2.5·10^-6 s^-1, llegamos finalmente a:

ζ = 4·10⁵ s (~ 110 h)

Considerando sólo las colisiones entre protones y moléculas de gases en el tubo del haz, el Beam Lifetime sería de alrededor de 110 horas.

Un tercer grupo de procesos tiene que ver con mecanismos como la limitada eficiencia de los sistemas correctores y focalizadores, la dispersión de Coulomb entre protones viajando juntos (incluyendo el efecto Touschek), la dispersion culombiana entre protones de "bunches" que se cruzan en los puntos de interacción,  o errores de operación, también contribuyen al decrecimiento del Beam Lifetime.

El número de protones del haz que sufren este tipo de procesos por segundo es de aproximadamente de unos 2,5·10⁶ protones perdidos por segundo y por bunch cuando el haz comienza a circular en el LHC..

Consideremos de nuevo esta situación como un proceso de “decaimiento” con una probabilidad λ con un razonamiento similar al visto anteriormente:

λ = (2.5·10⁶)/(1.15·10¹¹)

λ = 2.2·10^-5 s^-1

Este valor representa la probabildade de que un protón sufra alguno de los procesos antes mencionados.

Usando de nuevo,

ζ =1/λ

Y con  λ = 2.2·10^-5 s^-1, llegamos finalmente a:

ζ = 4,5·10⁴ s (~ 13 h)

Considerando este tercer tipo de eventos el Beam Lifetime sería de alrededor de 13 horas.

Si consideramos a la vez todos los procesos que acabamos de estudiar, el Beam Lifetime será:

1/ζ = + 1/ζ₁ + 1/ζ₂ + 1/ζ₃

1/ζ ~ 1/80 + 1/110 + 1/13

ζ ~ 10 h

Teniendo en cuenta todos los fenómenos, el Beam Lifetime para el LHC es finalmente de alrededor de 10 horas.

Volvemos a recordar que estos cálculos se han realizado con los parámetros nominales de inicio del LHC.